Ένας τρόπος είναι το String να το κάνεις File και μετά να καλέσεις το getName για να πάρεις το όνομα του αρχείου. Επίσης θα μπορούσες στον reader να δώσεις κατευθείαν το File που σου δίνει ο FileChooser.
Επίσης ο FileReader και ο FileInputStream δέχονται απευθείας File.